Научный Инновационый Центр Строительства и Пожарной Безопасности

2000 - "К вопросу оценки коэфицента эффективной теплопроводности вспученных составов." (Т.Ю. Еремина, Н.М. Бессонов, П.В. Дьяченко)

      Рассмотрена методика расчета коэффициента эффективной теплопроводности вспучива­ющихся составов после перехода во вспученное состояние, представляющее собой струк­туру с твердым каркасом и замкнутыми газовыми полостями (порами). Учитывается пере­дача тепла теплопроводностью через твердый каркас и излучением и конвекцией через поры. Предложен численный метод расщепления, реализованный на неортогональной трехмерной разностной сетке с использованием векторных конечных разностей. Опреде­лена зависимость коэффициента эффективной теплопроводности пористой структуры от температуры, объемной кратности вспучиваемости и характеристик пор.

ВВЕДЕНИЕ

При решении практических задач, связанных с обеспечением пожарной безопасности, возни­кает необходимость моделирования теплопереноса в огнезащитных составах. К наиболее эффектив­ным огнезащитным составам относятся вспучива­ющиеся. Высокая огнезащитная эффективность указанных составов связана (как следует из назва­ния) с их способностью перехода при нагревании во вспученное состояние с высокой объемной кон­центрацией газовых полостей (пор) и, как следст­вие, с малым коэффициентом теплопроводности.
      К настоящему времени накоплен большой опыт по моделированию тепло- и массопереноса во вспу­чивающихся огнезащитных составах при пожаре. В работах [1-4] рассмотрены тепломассообменные процессы, происходящие в таких составах при на­гревании и связанные с химическими превращени­ями, испарением связанной воды и пр. Большое зна­чение при расчете огнезащитной эффективности состава играет задаваемая величина эффективного коэффициента теплопроводности состава во вспу­ченном состоянии λeff. Ниже предложена методи­ка, позволяющая рассчитывать λeff в зависимости от температуры, характеристик пор и ряда других факторов.

ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Следуя классификации, предложенной в работе [5], состояние состава, после его перехода во вспученное состояние, можно характеризовать структурой, у которой в расположении пор нет дальнего порядка. В такой пористой структуре можно выделить одну или несколько характерных элементарных ячеек, определив эффективный коэффициент теп­лопроводности λeff которых, можно далее путем суперпозиции найти эффективный коэффициент теплопроводности структуры в целом. Такие мето­дики рассмотрены в литературе (например в [5]), поэтому основное внимание далее уделено опреде­лению величины  λeff  для ячейки.
      В качестве элементарной ячейки (или просто ячейки) пористой структуры был выбран прямо­угольный параллелепипед с размерами а, Ь, с вдоль осей х, у, z декартовой системы координат соответ­ственно (рис. 1).

      Направление теплового потока задавалось вдоль оси х. Ячейка содержала полость, заполненную газом. Задавался коэффициент объемной крат­ности вспученности k

k = V/Vт,                             (1)

где VT - объем твердого каркаса ячейки; V- полный объем ячейки, V = аbс.
      На гранях ячейки, перпендикулярных направ­лению теплового потока, ставились условия

на остальных гранях задавался нулевой тепловой поток. Для определения ве­личины λeff - рассчитывалось стационарное темпе­ратурное поле в ячейке и определялся средний теп­ловой поток q, протекающий через ячейку при дан­ном перепаде температур. Величина λeff  вычислялась исходя из определения

       Теплоперенос в ячейке представляет собой ком­плексный процесс и складывается из переноса теп­ла теплопроводностью через твердый каркас и из­лучением и конвекцией через полость. Математи­ческая модель любого составного процесса должна быть сбалансирована в том смысле, что описание преобладающей составляющей должно даваться наиболее точно, и, наоборот, составляющая, даю­щая небольшой вклад, может быть рассчитана упрощенно.
       Основной вклад в перенос тепла в данной зада­че вносит теплопроводность. Конвективный тепло-перенос преобладает над лучистым в области "ком­натных" и умеренных температур порядка и ниже 100 °С. При более высоких температурах лучистый теплоперенос существенно превышает конвектив­ный. С учетом того, что состав переходит во вспу­ченное состояние в диапазоне температур 100...200°С, а "работает" как теплоизолирующий материал в диапазоне до 1000 °С, вклад отдельных составляющих в общий теплоперенос можно рас­положить по возрастающей как: конвекция, лу­чистый теплоперенос, теплопроводность.
       В соответствии с этим конвективный поток на поверхности полости описывался на основе гра­ничного условия, содержащего коэффициент кон­вективной теплоотдачи α:

где λ - коэффициент теплопроводности каркаса;
n - нормаль к поверхности полости;
Тс - средняя температура газа в полости;
q - лучистый тепловой поток.
Величина α рассчитывалась по критериальным соотношениям [6, 7].
Лучистый тепловой поток q на любой элемен­тарной площадке поверхности полости dS нахо­дился из решения системы интегральных уравне­ний, описывающих перенос тепла излучением для поверхности S сложной формы в приближении диф­фузионного рассеяния излучения поверхностью [8]:

где Е - расстояние между элементарными площад­ками, обменивающимися излучением;
γ и β- углы между Е и нормалями к элементар­ным площадкам;
В - эффективный поток излучения;
ε - степень черноты поверхности;
σ - постоянная Стефана-Больцмана.
Перенос тепла теплопроводностью в твердом каркасе ячейки описывался трехмерным уравнени­ем теплопроводности

где t - время;
с - коэффициент объемной теплоемкости мате­риала каркаса.

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД

        Уравнение (6) с граничными условиями (3) - (5) решалась численно до получения стационарного распределения температуры в ячейке. Решение сис­темы (4) - (5) осуществлялось при помощи зональ­ного метода [8]. Для расчета температурного поля в каркасе ячейки последний разбивался неортого­нальной разностной трехмерной сеткой на восьми­угольные конечные элементы. Значения темпера­тур определялись в узлах трехмерной сетки. Ап­проксимация уравнения (6) на трехмерной сетке осуществлялось при помощи метода контрольных объемов [9]. Каждому узлу трехмерной сетки соот­носился контрольный объем V с поверхностью S. Для аппроксимации уравнения теплопроводности (6) в узле последнее записывалось в интегральном виде:

где n - внешняя нормаль к S.
        Каждый конечный элемент трехмерной сетки разбивался на 6 тетраэдров (рис. 2). Для конечно-разностной аппроксимации величины ΔT в тетра­эдре изменение температуры здесь задавалось в виде линейного полинома

где г - радиус-вектор;
а и d - параметры аппроксимации.

Рис.2. Тетраэдр и примыкающие к нему узлы трехмерной сетки а, Ь, с, d

Тогда

        Выразим значение параметра а через темпера­туры и координаты вершин тетраэдра:

- являются взаимными с r1, r2, r3 [10].
       Подстановка соотношения (12) в (9) приводит к следующему выражению для конечно-разностной аппроксимации градиента температуры в тетраэдре:

       Структура правой части (14) показывает, что градиент температуры в произвольном тетраэдре складывается из трех компонент, каждая из кото­рых является произведением перепада температу­ры вдоль соответствующего ребра тетраэдра Ts на соответствующий взаимный вектор r s*. Отметим, что соотношение (14) является частным случаем более общего выражения:

где Ф- скалярная, векторная или тензорная вели­чина;
Θ - соответствующая операция [11]. Для каждого узла трехмерной сетки аналогич­ным образом определись градиенты температуры в остальных тетраэдрах, примыкающих к данному узлу, находился результирующий тепловой поток через поверхность контрольного объема данного узла и, строилась разностная аппроксимация урав­нения (7) в данном узле. Для решения полученной сеточной задачи использовался метод расщепления [12], позволяющий заменять на каждом временном шаге решение многомерного уравнения теплопро­водности последовательным решением (при помо­щи метода прогонки) локально-одномерных задач переноса тепла вдоль соответствующих линий трехмерной сетки.
       Выражение (14) представлено в векторной фор­ме, что обеспечивает компактность записи. Послед­нее играет немаловажную роль при составлении разностных схем для аппроксимации двух- и осо­бенно трехмерных уравнений сплошной среды на неортогональных разностных сетках. В дальней­шем - на этапе программирования - компактный векторный стиль может быть сохранен путем вве­дения в программу новых типов данных (в данном случае векторных). Это возможно при использова­нии объектно-ориентированных языков програм­мирования, например, FORTRAN90 или C++ и по­зволяет во много раз уменьшить объем программы и время, необходимое для ее отладки, по сравнению с использованием традиционного стиля програм­мирования "в проекциях".

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ И ВЫВОДЫ

       Разработанная методика позволила исследовать зависимость коэффициента эффективной тепло­проводности λeff вспученного состава с регулярной структурой от следующих параметров: температу­ры T = (Т2 + Т1)/2; градиента температуры вдоль направления теплового потока ΔТ/а; коэффициен­та теплопроводности твердого каркаса λ; степени черноты поверхности полости ячейки ε; коэффици­ента объемной кратности вспучиваемости k; харак­терного продольного размера ячейки а и отноше­ния поперечного размера ячейки к продольному b/а. Для уменьшения числа параметров, характе­ризующих ячейку, задавалось b=с. Иными слова­ми, исследовалась зависимость:

       Для каждого из параметров, входящих в (16), был выбран представительный диапазон значений: T= 100... 1000°С; ΔT/a = 500, 5000, 50000°С/м; λ = 1, 2, 4Вт/(м°С); k = 5, 10, 20; а = 0,2; 1; 5 мм; b/а = 0,5; 1; 2; ε = 0,5; 0,7; 0.9. В качестве "средне­го" набора значений параметров, относительно ко­торого последовательно варьировался каждый па­раметр, был выбран следующий: ΔT/a = 5000 °С/м; λ = 2 Вт/(м°С); k= 10; а=1мм; b/а = 1;  ε=0,7. Предварительно расчеты проводились на трехмер­ных сетках, состоящих из 40x25x10 или 80x50x30 узлов (тестовые расчеты показали, что сетка 80x50x30 обеспечивала требуемую точность).
       На рис. 3-8 представлены результаты расчетов. На всех рисунках кривая, помеченная черными кружками, отображает зависимость величины λeff от температуры при среднем значении параметров. Две остальные кривые соответствуют минимально­му и максимальному значению данного параметра. Из рисунков видно, что возрастание величины λeff с ростом температуры носит нелинейный характер, что связано с нелинейным увеличением вклада лу­чистой составляющей в общий тепловой поток.

       Как видно из рис.3, влиянием градиента темпе­ратуры на величину λeff можно пренебречь.
       Влияние изменения величины коэффициента теплопроводности твердого каркаса λ на λeff весь­ма существенно (рис. 4). Наибольшее влияние ве­личина λ оказывает в области умеренных темпера­тур порядка 200 °С и менее. С дальнейшим ростом температуры повышается вклад лучистого перено­са тепла через полость в общий теплоперенос, и от­носительный вклад передачи тепла теплопроводно­стью через твердый каркас уменьшается.

        На рис. 5 представлены зависимости, показыва­ющие влияние степени черноты поверхности поло­сти ε на величину λeff. Это влияние проявляется в наибольшей степени в области высоких темпера­тур, где изменение ε на 20 % приводит к возраста­нию значения λeff  примерно на 10%.
        Одной из основных характеристик вспучиваю­щегося состава, влияющих на его огнезащитную способность, является величина коэффициента объемной кратности вспучиваемости k. Как видно из рис. 6, изменение величины k в два раза изменя­ет в среднем примерно во столько же раз и величину λeff..

       Как видно из кривых, представленных на рис. 7, не только сама по себе величина k, но и характерные размеры пор оказывают сильное влияние на огнеза­щитную эффективность состава. При неизменных значениях остальных параметров более мелкояче­ечная структура позволяет в несколько раз умень­шить величину λeff и, соответственно, повысить ог­незащитные характеристики состава, особенно в области высоких температур. Отметим, что коэф­фициент объемной кратности вспучиваемости и размер пор можно прогнозировать при разработ­ке составов.
       Образованию относительно твердой пористой структуры предшествует состояние вязкой пеня­щейся среды, в которой формируются газовые пу­зырьки. Находящийся какое-то время в этом состоя­нии состав может деформироваться под действием силы тяжести или ограниченного объема. Это, в свою очередь, может привести к формированию по­ристой структуры с преобладающим формоизмене­нием пор в определенном направлении. На рис.8 показано влияние отношения поперечного размера воздушной полости ячейки к продольному b/a на коэффициент λeff. Из представленных зависимо­стей видно, что в области низких и средних темпе­ратур более эффективными с точки зрения огне­стойкости являются полости (поры), сплющенные в направлении распространения тепла (Ь> а). За счет этого общее эффективное сечение твердого каркаса, а значит, и теплоперенос через него стано­вятся несколько меньше. В области же высоких температур, где растет вклад лучистой составляю­щей в общий тепловой поток, более эффективны поры, вытянутые в направлении теплового потока (b< а). За счет этого уменьшается эффективное се­чение газовых полостей, а значит, и лучистая со­ставляющая теплового потока. Указанное обстояте­льство может быть учтено при расчете огнезащит­ной эффективности состава в зависимости от усло­вий его применения.

ЛИТЕРАТУРА

1.Страхов В.Л., Гаращенко А.Н., Рудзинский В.П. Математическое моделирование работы и определение комплекса характеристик вспучивающейся огнезащиты. // Пожароезрывобезопасность, 1997, т.6, № 3. - С.21-30.
2.Страхов В.Л., Гаращенко А.Н., Рудзинский В.П. Математическое моделирование работы ог­незащиты, содержащей в своем составе воду. // Пожаровзрывобезопасность, 1998, т.7, № 2. -С.12-19.
3.Исаков Г.Н., Кузин А.Я. Моделирование и идентификация процессов тепломассопереноса во вспучивающихся теплозащитных материалах. // Прикл. мех. и техн. физ., 1996, т. 37, № 4. -С.126-134.
4.ЕреминаТ.Ю., Бессонов Н.М. Модель оценки огнезащитной эффективности вспучивающихся водосодержащих составов. // Пожаровзрывобезопасность, 2000, т.9, №3. - С.17-20.
5.  Дульнев Г.Р. Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. - Л.: Энергия, 1974. - С.263.
6.Теоретические основы теплотехники. Технический эксперимент: Справочник. - М.: Энергоатомиздат, 1998.
7. Дульнев Г.Р., Семяшкин Э.М. Теплообмен в радиоэлектронных аппаратах. - Л.: Энергия, 1968. - С.359.
8.Сперроу Э.М., Сесс Р.Д. Теплообмен излучением. - Л.: Энергия, 1971. - С.294.
9.Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Т.1, 2. - М.: Мир, 1990. - С.726.
10.Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. - М.: Наука, 1965. - С.426.
11.Bessonov N.M. Vector Finite Difference Method. // 6-th IMACS International Conference on Appli­cations of Computer Algebra. June 25-28, 2000, Russia.
12.Самарский А.А. Теория разностных схем. - M.: Наука, 1977. - С.654.

Пожаровзрывобезопасность. 2000. № 3. с. 15-17.